La modélisation gravitaire
appliquée au géomarketing
Introduction
Les modèles gravitaires sont
utilisés en géomarketing dans le cadre de deux objectifs liés : la délimitation
des zones de chalandise et la détermination de la part de marché à l'intérieur
de la zone de chalandise, deux étapes classiques de la détermination d'un
chiffre d'affaire potentiel (voir p. ex. Ghosh
& McLafferty, 1987, Jones & Simmons, 1990).
Première partie : présentation
La délimitation des zones de chalandise par les polygones de Thiessen
La méthode la plus simple pour
déterminer la zone de chalandise d'un magasin par rapport à ses concurrents ou
d'une ville par rapport à d'autres est de supposer que le chaland se dirige
vers l'offre la plus proche. Dans ce cas, les zones de chalandise sont
délimitées par des segments de droite situés à égale distance des deux points
d'offre concurrents. Ces polygones sont attribués à Thiessen, qui les a proposé
en 1911 dans le contexte tout à fait différent du calcul de précipitations
(Thiessen, A.H. & Alter, J.C., 1911). Pour définir la zone de chalandise
d'un point d'offre, il s'agit de relier celui-ci aux points d'offre concurrents
par des droites et de construire les perpendiculaires au milieu de chaque
segment (médiatrices). Le polygone qui contient le point d'offre considéré est
le lieu géométrique des points situés plus près de ce point d'offre que de tout
autre et est interprété ici comme sa zone de chalandise. Cette méthode est
évidemment très simple puisqu'elle néglige toute différence d'attractivité ou
d'importance entre les points d'offre et toute hétérogénéité de l'espace
(réseaux routiers, obstacles, ...). Elle fournit néanmoins une première
approche et la prise en compte exclusive de la distance comme critère de
sélection peut être utile dans certains raisonnements (fig. 1).
Les volumes de population dans
les zones ainsi délimitées pour les 91 noyaux commerciaux[1]
majeurs hors centres-villes des 17 principales régions urbaines en Belgique
(Grimmeau & coll., 2003) s'étalent de moins de 7.000 à près de 100.000! La
corrélation calculée entre cet effectif et la proportion de commerces vides
dans ces noyaux est de -0,247, ce qui en fait une des variables corrélées
significativement (α = 5 %) à cet indicateur de santé du commerce alors
que la moitié des variables explicatives potentielles ont du être écartées.
Plus il y a d'habitants dans le polygone de Thiessen, plus est donc faible la
proportion de cellules commerciales vides. Le nombre d'habitants dans le
polygone de Thiessen intègre ici la concurrence (par la surface) et la densité
de peuplement.
La délimitation des zones de chalandise par le modèle de Reilly
Le modèle proposé par Reilly
dès 1929 (Reilly, 1929, 1931) est directement inspiré par la loi de Newton : il
suppose que l'attraction commerciale de deux villes en un point soit
proportionnelle à leur population et inversement proportionnelle au carré de
leur distance à ce point, ce qui permettrait de définir laquelle des deux
villes est la plus influente en ce point. Ce modèle a été remanié et développé
par de nombreux auteurs. Actuellement, on peut le présenter de la façon suivante.
On définit une fonction d'utilité (U), qui estime
l'utilité d'un point d'offre (i) pour un client potentiel (j), en fonction de
l'attractivité du point d'offre (Ai) et de la distance par rapport
au client potentiel (dij). Selon la proposition de Reilly, l'utilité
serait directement proportionnelle à l'attractivité du point d'offre et
inversement proportionnelle au carré de la distance (modèle gravitaire). Par rapport au modèle précédent, celui-ci
prévoit que les consommateurs vont accepter de couvrir une distance plus grande
pour accéder à un point d'offre qui leur semble plus susceptible de les
satisfaire.
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1 |
L'attractivité du point d'offre est généralement mesurée par sa surface
de vente ou par le nombre de commerce du type considéré ou, à défaut pour une
ville, par sa population. Il est évident que ce ne sont pas les seuls aspects
qui jouent : le choix et la qualité des produits, les prix, la qualité du
service ou de l'accueil, l'ambiance ou le confort du magasin, les possibilités
d'activités combinables dans un même déplacement, etc. interviennent dans les
décisions individuelles mais sont difficiles à prendre en compte dans un modèle[2].
La distance est généralement calculée
à vol d'oiseau (distance euclidienne). Mais la simple somme des différences
absolues de coordonnées en x et en y peut paradoxalement être plus
réaliste : très utilisée aux Etats-Unis, elle rend compte de
l'impossibilité fréquente de se déplacer autrement que selon un méridien ou un
parallèle (distance dite de Manhattan).
Des distances-temps et des distances-coûts (incluant une contre‑valeur
monétaire du temps nécessaire, tenant compte de la perception individuelle de
la valeur du temps) sont parfois considérées.
Avec ce modèle, et en utilisant
la distance euclidienne, le lieu géométrique des points pour lesquels un point
d'offre a la même utilité est évidemment un cercle centré sur celui-ci (isodyne).
Si l'on trace les isodynes
correspondant à des points d'offre concurrents, l'intersection de deux isodynes
de même valeur définit deux points où l'utilité des deux points d'offre est
égale. En recommençant l'opération pour les autres paires d'isodynes, on
définit successivement d'autres points où l'utilité des deux points d'offre est
égale. En les reliant, on approche le lieu géométrique des points où les
utilités de deux points d'offre s'égalisent. Là où il n'y a pas d'autre point
d'offre dont l'utilité serait supérieure, ce lieu géométrique constitue une
partie de la limite de la zone de
chalandise entre les deux points d'offre : si les consommateurs maximisent
leur utilité, ils iront à un des points d'offre considéré d'un côté de la
ligne, à l'autre de l'autre (fig. 1).
Cet exercice montre que la
limite de la zone de chalandise entre deux points d'offre concurrents est un
(arc de) cercle. On peut déterminer analytiquement les coordonnées de son
centre et son rayon. Les coordonnées de ce centre se calculent à partir des
coordonnées X et Y des deux points d'offre (1 et 2) et de leurs attractivités
A :
Pour A1 > A2[3]
:
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Le centre du cercle est situé sur
la droite passant par les deux points d'offre, au-delà du plus petit des deux
en terme d'attractivité.
Le rayon du cercle se calcule à
partir des attractivités des points d'offre et de la distance qui les
sépare :
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On voit que si les
attractivités des deux points d'offre sont égales, le rayon du cercle et la
distance du centre deviennent infinis : la limite est alors une droite. Vu
l'égalité de l'attractivité des points d'offre, elle doit être située à
mi-distance de ceux-ci et perpendiculaire à la droite qui les joint, ce qui
nous renvoit logiquement aux polygones de Thiessen.
Estimer la qualité de la desserte commerciale avec le modèle de Reilly
La qualité de la desserte
commerciale varie spatialement : un lieu situé près de plusieurs commerce
est mieux desservi que si il n'y en avait qu'un ou que si ils étaient éloignés.
Le modèle de Reilly permet d'estimer cette qualité par la somme en un point des
utilités des différents points d'offre :
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Cette somme est appelée le potentiel du point. Elle peut se
cartographier. Puisqu'elle peut se calculer en tout point, la technique des
courbes de niveau est généralement utilisée.
Estimer les parts de marché avec le modèle de Huff
Le modèle de Huff s'appuie sur
le modèle de Reilly. La contribution de Huff consiste à proposer d'estimer la
probabilité que les consommateurs d'un lieu soient clients d'un point d'offre
en faisant le rapport entre l'utilité de ce point d'offre pour ces
consommateurs et la somme des utilités de tous les points d'offre concurrents
pour ces mêmes personnes. On reconnaît dans cette somme des utilités la notion
de potentiel introduite plus haut.
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où i est le lieu d'offre considéré,
faisant partie de l'ensemble des lieux d'offre désignés par k; la résidence des
consommateurs est notée j. Il est possible de cartographier ces probabilités.
On peut déterminer bien sûr les
limites des zones pour lesquelles c'est un même point d'offre qui capte la plus
grande part du marché. On délimite ainsi des zones de chalandise, qui sont
exactement les mêmes que celles fournies par le modèle de Reilly : le fait de
diviser les utilités de différents points d'offre en un point par la même valeur
de potentiel ne change évidemment pas l'identité du point d'offre dominant.
L'apport du modèle de Huff est
de ne plus considérer que les consommateurs se partagent clairement de part et
d'autre de la limite de la zone d'influence mais plutôt qu'il y a un continuum
de situations. Du côté intérieur de la limite de la zone de chalandise, la
probabilité que le consommateur aille vers le point d'offre interne à la zone
est la plus forte et ce n'est plus le cas de l'autre côté de cette limite; mais
ces probabilités ne sont pas 1 et 0. Autrement dit, à l'intérieur de la zone de
chalandise, il y a une probabilité non nulle de se diriger vers d'autres points
de vente et, au voisinage de la limite, cette probabilité peut être, pour le
point d'offre concurrent adjacent, du même ordre de grandeur (à peine
inférieure). Et du côté extérieur de la limite de la zone de chalandise d'un
point d'offre, la probabilité de le fréquenter est non-nulle et peut même être
du même ordre de grandeur que celle correspondant au point d'offre adjacent.
La probabilité fournie par le
modèle de Huff est indifféremment interprétée comme la part des individus du
lieu j qui feront leurs achats en i, comme la part des achats qu'un individu
fera au point d'offre (zapping) ou comme la part des achats que les individus
du lieu j feront en i.
En conséquence, le modèle de
Huff est fréquemment utilisé pour estimer des parts de marché et des chiffres
d'affaire potentiels. Si l'on connaît dans des (petits) territoires, le volume
de dépenses pour le type de biens que l'on vend (par exemple : nombre de
ménages x revenu moyen des ménages x part du revenu qui est affectée au type de
biens considéré), il suffit de le multiplier par la part, estimée par la
probabilité du modèle de Huff, pour avoir une estimation de chiffre d'affaire
dans ce territoire; la somme de ces valeurs sur les différents territoires
donne le chiffre d'affaire théorique recherché.
Le modèle de Huff est aussi
beaucoup utilisé pour l'étude des concurrences, qu'elles soient externes ou
internes. La
figure 2 simule au moyen du modèle de Huff la concurrence interne entre les
différents sièges de l'Inno; outre les quatre sièges bruxellois, ceux de
Louvain, Malines, Gand et Charleroi influencent la forme des courbes.
Estimer empiriquement l'effet de la distance et de l'attraction
L'effet de la distance sur les
comportements varie selon le type de biens ou de services. On parle d'une
différence de friction de la distance.
Par exemple, dans une étude empirique, la distance à laquelle 80% de la
clientèle sont réunis valait 4,2 km pour les supermarchés, 7,9 km pour les
agences bancaires et 10 km pour les maisons de repos. De même, on peut imaginer
que l'effet de l'attraction (mesurée par la surface commerciale ou par le
nombre de commerces) sur l'utilité ne soit pas linéaire, qu'une attraction plus
forte augmente l'utilité dans une mesure plus que proportionnelle (ce qui est
souvent affirmé) ou au contraire moins que proportionnelle. Le modèle devient
alors :
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6 |
où b représente la friction de
la distance : plus b est grand, plus la friction de la distance est
importante. De même, a mesure l'élasticité
de l'influence de l'attractivité sur l'utilité : si a est supérieur à 1,
une variation de l'attractivité entraîne une variation plus forte de l'utilité;
inférieur à 1, moins forte. Les paramètres a et b s'estiment généralement par
régression multiple linéaire après transformation logarithmique, à partir du
taux de pénétration (nombre de clients pour 1000 ménages) comme estimateur de
l'utilité. Alors :
log (Uij) = log
(k) + a log (Ai) - b log (dij)
Ce mode d'estimation n'est
cependant pas parfait. Les paramètres obtenus différent généralement de ceux
estimés directement par minimisation des carrés des écarts dans la formule
originale (sans transformation). En fait, la transformation logarithmique a
pour conséquence que l'on minimise la somme des carrés des écarts de
logarithmes, ce qui vient en quelque sorte à minimiser une erreur relative. Les
coefficients de détermination (R²) sont souvent meilleurs après transformation
logarithmique mais n'ont pas la même signification : l'amélioration apparente
est souvent illusoire.
D'après Beguin & Thill
(1985), on a pu démontrer que l'introduction des paramètres a et b ne change
pas la forme des limites de zone d'influence entre deux points d'offre et que
les limites ne dépendent que du rapport a/b. En posant, toujours avec A1
> A2, :
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les coordonnées du centre du
cercle et son rayon deviennent respectivement :
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On vérifiera que, si l'on pose
a = 1 et b = 2, on retrouve évidemment les formules de base vues plus haut.
Si des modifications
coordonnées de a et de b telles que a/b reste constant ne modifient pas les
limites des zones d'influence selon Reilly (et donc selon Huff), elles
modifient cependant les probabilités selon Huff et donc les parts de marché. Il
n'est donc pas impossible de trancher empiriquement entre un effet de friction
de la distance et un effet d'élasticité de l'attractivité!
Deuxième partie : Applications
et Commentaires
Application du modèle de Reilly à Bruxelles
Définir les zones de chalandise
n'a de sens que par rapport à un type de bien ou à un niveau hiérarchique. Plus
les biens sont rares, plus les zones de chalandises sont étendues. Les cartes
des limites des zones de chalandise des principaux noyaux commerciaux
bruxellois (fig. 1)
ont été construites en prenant comme attractivité le nombre de commerces des
types caractéristiques respectivement des niveaux 3 et 4 de la hiérarchie des
noyaux dans la ville, le 4 correspondant aux deux noyaux majeurs, rayonnant
largement hors de la ville, et le 3 aux 31 autres noyaux majeurs, comptant
entre 100 et 400 commerces. Les commerces caractéristiques du niveau 4 sont par
exemple les grands magasins (Inno), la confection, les chaussures, les
disquaires, ... et du niveau 3 les photographes, opticiens, parfumeurs,
bijoutiers, teinturiers, etc. (Grimmeau, 1987). Les noyaux ont été délimités
sur base de la continuité de la densité commerciale (Grimmeau & coll.,
2003). Les cartes montrent que la concavité de la limite est toujours tournée
vers le noyau le moins important, que les petits noyaux peuvent avoir une zone
de chalandise entièrement contenue dans celle d'un noyau plus important et que
des grands noyaux peuvent avoir une zone de chalandise morcelée parce qu'elles
exercent une influence dominante au-delà d'un autre noyau moins important; par
exemple, sur la carte du niveau 3, le haut de la ville (27) rayonne légèrement
au‑delà des noyaux 18 (cimetière d'Ixelles) et 24 (Bascule) et le
centre-ville (26) plus loin encore.
Au niveau 4, une des
observations principales est la limite en arc de cercle très ouvert qui
traverse la ville d'est en ouest. C'est la limite entre les influences des
noyaux du centre-ville (26; 2.800 commerces) et du haut de la ville (27;
1.400). Ceci confirme que l'on a là les seuls noyaux commerçants susceptibles
d'exercer une large attraction extérieure à la ville. La limite ne doit
évidemment pas faire illusion : le choix entre ces deux quartiers se fait
sur d'autres critères que la proximité, notamment le standing. Une seconde observation
est que ce sont les noyaux proches qui soutiennent le plus difficilement la
concurrence de ces deux quartiers. Certains noyaux n'offrent visiblement aucun
service à ce niveau (10, 13, 19). Les zones d'influence des quartiers
périphériques sont beaucoup plus grandes (ce qui ne veut pas nécessairement
dire plus peuplées), malgré la prise en compte ici des noyaux périphériques
majeurs (on voit d'ailleurs, au point le plus au nord un fragment de la zone de
chalandise de Vilvorde).
Au niveau 3, le seul noyau dont
l'influence s'étend hors de la ville est celui du centre-ville. La zone
d'influence du haut de la ville est ici beaucoup plus réduite. L'examen des
effectifs de commerces de ces deux noyaux par niveau permet d'expliquer cette
observation : ces deux noyaux comptent des effectifs comparables de
commerce de niveau 4 (445 et 410), mais le centre-ville compte encore plus de
commerces de niveau 3 que le haut de la ville (640 contre 316). La structure
commerciale du centre-ville est beaucoup plus diversifiée que celle du
haut-de-la-ville, fortement concentré sur le luxe (vêtements, chaussures,
maroquinerie, parfums, bijoux). Ces deux quartiers comptent très peu de
commerces des niveaux 1 et 2.
Sensibilités et limites
Le transfert de la loi de
Newton à l'attraction commerciale n'est cependant pas simple. Si la taille des
planètes est négligeable par rapport à la distance qui les sépare, il n'en va
pas de même pour les lieux commerciaux (Grimmeau, 1994). Les assimiler à un
point n'est souvent pas satisfaisant. Si la ville ou le noyau commercial est
sensiblement plus grand que la partie fréquentée par les consommateurs
localisés en un point, on risque de surestimer la distance qu'ils vont
parcourir (ils se limiteront à la marge du noyau ou aux noyaux périphériques de
la ville) et de sous-estimer l'attractivité du noyau ou de la ville (en
comptant des commerces situés à l'autre bout et qui ne seront pas fréquentés).
Morceler de tels espaces n'est pas une solution commode parce que plusieurs
découpages sont possibles et que le choix est arbitraire et influence les
résultats. Enfin, les résultats sont sensibles à la position que l'on donne au
point symbolisant le lieu commercial.
Références
Beguin, H. & Thill, J.C.
(1985) Les aires de rayonnement des villes belges, l'utilité d'une approche
théorique, Bulletin du Crédit communal, 154, pp. 205-215.
Cliquet, G. (1992) Management
stratégique des points de vente, Sirey, 315 p.
Ghosh, A. & McLafferty, S.L. (1987) Location strategies for
retail and service firms, Lexington Books, 212 p.
Grimmeau, J.P. (1987) Affinités
spatiales et facteurs de localisation du commerce de détail dans la ville, Recherches
de géographie urbaine, Hommage au professeur J.A. Sporck, Société
géographique de Liège, pp.301‑316.
Grimmeau, J.P. (1994) Le modèle
gravitaire et le facteur d'échelle. Application aux migrations intérieures de
la Belgique 1989-1991, Espace, Populations, Sociétés, 1, pp.131-141.
Grimmeau, J.P. & coll.
(2003) Le commerce de détail dans les grandes villes belges et leurs
périphéries, Bruxelles, Politique des grandes villes, à paraître.
Jones, K. & Simmons, J. (1990) The retail environment,
Routledge, 492 p.
Reilly, W.J. (1929) Methods for the study of retail relationships,
University of Texas, Bulletin, 2944.
Reilly, W.J. (1931) The law of retail gravitation, New York.
Thiessen, A.H. & Alter, J.C. (1911) Precipitation averages for large
areas, Monthly weather review, 39, pp. 1082-1084.
Auteurs :
J.P. Grimmeau et B.WayensUniversité Libre de BruxellesInstitut de Gestion de l'Environnement et d'Aménagement du Territoire (IGEAT)Cellule Géographie Appliquée et GéomarketingContact : grimmeau@ulb.ac.be
Date :
22/04/03